30. Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина C лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.

а) Так как ABCD — трапеция, то основания параллельны: \(AB \parallel CD\).

По условию \(AB \parallel \alpha\), следовательно, и прямая \(CD\), параллельная прямой \(AB\), имеет направление, параллельное плоскости \(\alpha\).

Точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Через точку плоскости можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой, параллельной этой плоскости. Поэтому прямая \(CD\) лежит в плоскости \(\alpha\), то есть основание \(CD\) лежит в плоскости \(\alpha\).

б) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. Поэтому средняя линия параллельна \(AB\).

Так как \(AB \parallel \alpha\), то прямая, параллельная \(AB\), параллельна плоскости \(\alpha\). Следовательно, средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\>.

Ответ: а) \(CD \subset \alpha\); б) средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).