25. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катеты \(AC\) и \(BC\) соответственно равны 64 и 120. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой \(BC\).

Пусть \(C=(0,0)\), \(B=(120,0)\), \(A=(0,64)\). Окружность проходит через \(B\) и касается прямой \(BC\), поэтому её центр имеет координаты \((120,R)\), а радиус равен \(R\).

Так как окружность проходит через \(A\), расстояния от центра до точек \(A\) и \(B\) равны:

\[120^2+R^2=120^2+(R-64)^2.\]

Отсюда

\[R^2=R^2-128R+4096,\qquad R=32.\]

Ответ: 32