23. Найдите площадь остроугольного равнобедренного треугольника с основанием, равным 16, если известно, что радиус описанной около него окружности равен 10.

Пусть основание \(a=16\), радиус описанной окружности \(R=10\), а углы при основании равны \(\alpha\). По формуле \(a=2R\sin\alpha\):

\[16=20\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac45.\]

Так как треугольник остроугольный, \(\cos\alpha=\frac35\). Высота к основанию:

\[h=8\tan\alpha=8\cdot\frac{4}{3}=\frac{32}{3}.\]

Тогда площадь

\[S=\frac12\cdot16\cdot\frac{32}{3}=\frac{256}{3}.\]

Ответ: \(\frac{256}{3}\)