25. Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Пусть центры окружностей — \(O_1\) и \(O_2\). Общие внешние касательные \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(T\), являющейся центром гомотетии окружностей.

Коэффициент гомотетии равен отношению радиусов:
\[k=\frac{77}{44}=\frac74.\]

Прямая \(AB\) переходит в прямую \(CD\), поэтому расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию между соответствующими окружностями по направлению, перпендикулярному этим прямым. Расстояние между центрами окружностей при внешнем касании равно \(44+77=121\).

Перпендикулярная составляющая расстояния между центрами равна расстоянию между параллельными хордами \(AB\) и \(CD\). Из подобия и коэффициента гомотетии получаем расстояние между прямыми:

\[d=\frac{2r_1r_2}{r_1+r_2}=\frac{2\cdot44\cdot77}{44+77}=\frac{6776}{121}=56.\]

Ответ: 56.