22. Тип Д35 C3 № 311246 Найдите все значения а, при которых неравенство х²+(2а+4)х+8а +1 ≤ 0 не имеет решений.

Решение:

Квадратное неравенство \( x^2 + (2a+4)x + 8a + 1 \le 0 \) не имеет решений, если парабола \( y = x^2 + (2a+4)x + 8a + 1 \) либо полностью лежит выше оси \( Ox \) (то есть \( y > 0 \) для всех \( x \)), либо касается оси \( Ox \) в одной точке (то есть \( y \ge 0 \) для всех \( x \)).

Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0).

Для того чтобы парабола не пересекала ось \( Ox \) и не касалась ее, дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным.

Дискриминант \( D \) равен:

\( D = (2a+4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a+1) \)

\( D = (4a^2 + 16a + 16) - (32a + 4) \)

\( D = 4a^2 + 16a + 16 - 32a - 4 \)

\( D = 4a^2 - 16a + 12 \).

Неравенство \( x^2 + (2a+4)x + 8a + 1 \le 0 \) не имеет решений, если \( D < 0 \) (так как ветви параболы направлены вверх, если \( D=0 \), то будет одно решение \( x = \frac{-(2a+4)}{2} \)).

Итак, нам нужно решить неравенство \( 4a^2 - 16a + 12 < 0 \).

Разделим на 4:

\( a^2 - 4a + 3 < 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( a^2 - 4a + 3 = 0 \). По теореме Виета: \( a_1 + a_2 = 4 \) и \( a_1 \cdot a_2 = 3 \). Корни: \( a_1 = 1 \) и \( a_2 = 3 \).

Парабола \( y = a^2 - 4a + 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( a^2 - 4a + 3 < 0 \) выполняется между корнями.

Следовательно, \( 1 < a < 3 \).

Ответ: \( 1 < a < 3 \).