22. Постройте график функции y = x²+6x+7, при x≥-4 y = x+10, при x<-4 Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построение графика функции

1. График функции \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \geq -4 \):

Это часть параболы. Найдем вершину параболы:

\[ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(1)} = -3 \]

\[ y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \]

Вершина параболы: \( (-3, -2) \).

Найдем значение функции в точке \( x = -4 \) (начало участка):

\[ y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1 \]

Точка на графике: \( (-4, -1) \).

2. График функции \( y = x + 10 \) при \( x < -4 \):

Это часть прямой. Найдем значение функции при \( x = -4 \) (точка, к которой стремится график, но не включая её):

\[ y = -4 + 10 = 6 \]

Точка, к которой стремится график (не включается): \( (-4, 6) \).

3. Анализ пересечения прямой \( y = m \) с графиком

Прямая \( y = m \) — горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

• Если \( m = -2 \), прямая проходит через вершину параболы, но так как \( x=-3 \) попадает в область \( x \geq -4 \), это одна точка пересечения.
• Если \( m \) находится между \( -1 \) (значение \(y\) в \(x=-4\) для параболы) и \( 6 \) (значение \(y\) в \(x=-4\) для прямой, не включая), то прямая пересечет параболу в двух точках.
• Если \( m > 6 \), прямая пересечет часть параболы и часть прямой, что даст две точки.
• Если \( m = 6 \), прямая пересечет параболу в одной точке (при \(x > -4\)) и пройдет через точку \( (-4, 6) \) прямой, но эта точка не включается в график прямой.

Рассмотрим значения \( y \) на каждом участке:

• Для параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \geq -4 \): значения \( y \) начинаются от \( -2 \) (вершина) и идут вверх. В точке \( x=-4 \), \( y=-1 \).
• Для прямой \( y = x + 10 \) при \( x < -4 \): значения \( y \) стремятся к \( 6 \) при приближении \( x \) к \( -4 \) слева.

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком:

• Случай 1: \( y = m \) пересекает параболу в двух точках. Это возможно, когда \( m > -2 \) (так как вершина \( y_в = -2 \)) и \( m \) не достигает значения \( y \) в точке \( x = -4 \) для параболы (т.е. \( m \neq -1 \)).
• Случай 2: \( y = m \) пересекает одну ветвь параболы (вне \( x=-4 \)) и часть прямой \( y = x+10 \) (при \( x<-4 \)).

Когда \( y = m \) пересекает обе ветви параболы, это две точки. Но нас интересует только область \( x ≥ -4 \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки, если:

1. \( m \) находится в интервале \( (-2, -1) \). В этом случае она пересечет параболу в двух точках.
2. \( m \) находится в интервале \( (6, \infty) \). В этом случае она пересечет параболу в одной точке (для \( x ≥ -4 \)) и прямую \( y=x+10 \) в одной точке (для \( x < -4 \)).

Суммируя эти случаи:

\( m \in (-2, -1) \cup (6, \infty) \)

Ответ: \( m \in (-2, -1) \cup (6, \infty) \).