21. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч).

Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{40}{v + 5} \) часов.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{30}{v - 5} \) часов.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.

Составим уравнение:

\[ \frac{40}{v + 5} + \frac{30}{v - 5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 40(v - 5) + 30(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5) \]

\[ 40v - 200 + 30v + 150 = 5(v^2 - 25) \]

\[ 70v - 50 = 5v^2 - 125 \]

\[ 5v^2 - 70v - 75 = 0 \]

Разделим уравнение на 5:

\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \]

Найдём корни:

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.