22.(3 балла) Найдите все решения уравнения cos 2 x + sin^2 x + cos x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
2. Подставим в уравнение:
   \[ (2\cos^2 x - 1) + \sin^2 x + \cos x = 0 \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
   \[ 2\cos^2 x - 1 + (1 - \cos^2 x) + \cos x = 0 \]
4. Упростим уравнение:
   \[ \cos^2 x + \cos x = 0 \]
5. Вынесем \( \cos x \) за скобки:
   \[ \cos x (\cos x + 1) = 0 \]
6. Получаем два случая:
   а) \( \cos x = 0 \)
   Корни на отрезке \( [-\pi; \pi] \): \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).
   б) \( \cos x + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \cos x = -1 \)
   Корень на отрезке \( [-\pi; \pi] \): \( x = -\pi \) и \( x = \pi \).
7. Объединим все корни, принадлежащие отрезку \( [-\pi; \pi] \).

Ответ: -π; -π/2; π/2; π.