21.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 28 см и высотой 6 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.

Решение:

При вращении трапеции около основания образуется тело, состоящее из цилиндра и двух конусов (или вычитается объем двух конусов, если основание - меньшее).
Рассмотрим трапецию ABCD, где AB=12, CD=28, h=6.

Случай 1: Вращение около меньшего основания AB.
Тело вращения состоит из цилиндра высотой 12 см и радиусом, равным высоте трапеции (6 см), и двух одинаковых конусов с высотой (28-12)/2 = 8 см и радиусом 6 см.

Расчет боковой поверхности:
1. Найдем длину боковой стороны трапеции. Для этого опустим высоту из B и C на CD. Получим прямоугольные треугольники с катетами 6 и \( (28-12)/2 = 8 \).
\( l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \) см.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[ S_{цилиндра} = 2 \(\pi\) r H = 2 \(\pi\) \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 12 = 144 \(\pi\) \) см².

3. Площадь боковой поверхности двух конусов:
\[ S_{конусов} = 2 \(\cdot\) \(\pi\) r l = 2 \(\pi\) \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 10 = 120 \(\pi\) \) см².

4. Общая площадь поверхности первого тела вращения:
\[ S_1 = S_{цилиндра} + S_{конусов} = 144 \(\pi\) + 120 \(\pi\) = 264 \(\pi\) \) см².

Случай 2: Вращение около большего основания CD.
Тело вращения состоит из цилиндра высотой 28 см и радиусом 6 см, из которого вычитаются два конуса с высотой (28-12)/2 = 8 см и радиусом 6 см.

Расчет боковой поверхности:
1. Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[ S_{цилиндра} = 2 \(\pi\) r H = 2 \(\pi\) \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 28 = 336 \(\pi\) \) см².

2. Площадь боковой поверхности двух конусов:
\[ S_{конусов} = 2 \(\cdot\) \(\pi\) r l = 2 \(\pi\) \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 10 = 120 \(\pi\) \) см².

3. Общая площадь поверхности второго тела вращения:
\[ S_2 = S_{цилиндра} - S_{конусов} = 336 \(\pi\) - 120 \(\pi\) = 216 \(\pi\) \) см².

4. Сравнение площадей:
\[ S_1 = 264 \(\pi\) \) см².
\[ S_2 = 216 \(\pi\) \) см².

\( S_1 > S_2 \).

Ответ: Площадь поверхности тела, полученного при вращении около меньшего основания (264π см²), больше площади поверхности тела, полученного при вращении около большего основания (216π см²).