21. (3 балла) Решите уравнение 4*-14-2*-32 = 0.

Решение:

Уравнение имеет вид \( 4^x - 14 · 2^x - 32 = 0 \).

Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 14y - 32 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \]\[ y_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]\[ y_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \):

1) \( 2^x = 16 \) \( \Rightarrow \) \( 2^x = 2^4 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 \)

2) \( 2^x = -2 \) — это уравнение не имеет решений, так как степень числа 2 всегда положительна.

Ответ: \( x = 4 \).