19. (3 балла) Найдите промежутки убывания функции у = х² + 12x-100

Решение:

Функция убывает там, где её производная отрицательна. Найдем производную функции \( y = x^2 + 12x - 100 \):

\[ y' = (x^2 + 12x - 100)' = 2x + 12 \]

Чтобы найти промежутки убывания, приравняем производную к нулю:

\[ 2x + 12 = 0 \]\[ 2x = -12 \]\[ x = -6 \]

Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty; -6) \) и \( (-6; +\infty) \).

• При \( x < -6 \), например \( x = -7 \), \( y' = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > -6 \), например \( x = 0 \), \( y' = 2(0) + 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Промежуток убывания: \( (-\infty; -6) \).