21. (3 балла) Решите уравнение $$ 2\cos^2 x - 5 \sin x - 5 = 0 $$.

Решение:

Данное уравнение:

\( 2\cos^2 x - 5 \sin x - 5 = 0 \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), чтобы выразить уравнение только через синус:

\( 2(1 - \sin^2 x) - 5 \sin x - 5 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 2 - 2\sin^2 x - 5 \sin x - 5 = 0 \)

Приведем подобные члены:

\( -2\sin^2 x - 5 \sin x - 3 = 0 \)

Умножим на -1 для удобства:

\( 2\sin^2 x + 5 \sin x + 3 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получаем квадратное уравнение:

\( 2t^2 + 5t + 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \).

Случай 1: \( \sin x = -1 \)

Это уравнение имеет решение \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число. Или \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \).

Случай 2: \( \sin x = -1.5 \)

Это уравнение не имеет решений, так как \( \sin x \) может принимать значения только в интервале \( [-1; 1] \).

Ответ: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $$, где $$ n \in \mathbb{Z} $$.