14. (1 балл) Найдите производную функции $$ y = 2x^5 - 3x^2 \sin 4x $$.

Решение:

Найдем производную функции \( y = 2x^5 - 3x^2 \sin 4x \) по правилам дифференцирования:

\( y' = (2x^5 - 3x^2 \sin 4x)' \)

Применим правила суммы и произведения:

\( y' = (2x^5)' - (3x^2 \sin 4x)' \)

Производная \( (2x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4 \).

Производная \( (3x^2 \sin 4x)' \) находится как производная произведения \( u \cdot v \), где \( u = 3x^2 \) и \( v = \sin 4x \). \( u' = 6x \).

Производная \( v' = (\sin 4x)' = \cos 4x \cdot (4x)' = 4\cos 4x \).

Тогда \( (3x^2 \sin 4x)' = u'v + uv' = 6x \sin 4x + 3x^2 \cdot 4\cos 4x = 6x \sin 4x + 12x^2 \cos 4x \).

Подставляем обратно:

\( y' = 10x^4 - (6x \sin 4x + 12x^2 \cos 4x) \)

Раскроем скобки:

\( y' = 10x^4 - 6x \sin 4x - 12x^2 \cos 4x \)

Ответ: $$ y' = 10x^4 - 6x \sin 4x - 12x^2 \cos 4x $$.