20. Решите уравнение (x² - 81)² + (x² + 6x – 27)² = 0.

Решение:

Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений равно нулю.

1. Приравняем первое выражение к нулю:

\( x^2 - 81 = 0 \)

\( x^2 = 81 \)

\( x = \pm 9 \)

2. Приравняем второе выражение к нулю:

\( x^2 + 6x - 27 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)

3. Найдем общие корни для обоих уравнений.

Из первого уравнения \( x = 9 \) или \( x = -9 \).

Из второго уравнения \( x = 3 \) или \( x = -9 \).

Общим корнем является \( x = -9 \).

Ответ: -9