20. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 40% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 50 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение:

Обозначим:

• \( m_1 \) — масса первого сплава (кг)
• \( w_1 = 0.05 \) — массовая доля меди в первом сплаве
• \( m_2 \) — масса второго сплава (кг)
• \( w_2 = 0.40 \) — массовая доля меди во втором сплаве
• \( m_3 \) — масса третьего сплава (кг)
• \( w_3 = 0.10 \) — массовая доля меди в третьем сплаве

Из условия задачи известно:

1. \( m_1 = m_2 + 50 \)
2. \( m_3 = m_1 + m_2 \)
3. Масса меди в третьем сплаве равна сумме масс меди в первом и втором сплавах: \( m_3 \cdot w_3 = m_1 \cdot w_1 + m_2 \cdot w_2 \)

Подставим известные значения в уравнение для массы меди:

\( (m_1 + m_2) \cdot 0.10 = m_1 \cdot 0.05 + m_2 \cdot 0.40 \)

Раскроем скобки:

\( 0.10 m_1 + 0.10 m_2 = 0.05 m_1 + 0.40 m_2 \)

Перегруппируем члены уравнения:

\( 0.10 m_1 - 0.05 m_1 = 0.40 m_2 - 0.10 m_2 \)

\( 0.05 m_1 = 0.30 m_2 \)

Разделим обе части на 0.05:

\( m_1 = \frac{0.30}{0.05} m_2 \)

\( m_1 = 6 m_2 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. \( m_1 = m_2 + 50 \)
2. \( m_1 = 6 m_2 \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 6 m_2 = m_2 + 50 \)

\( 6 m_2 - m_2 = 50 \)

\( 5 m_2 = 50 \)

\( m_2 = \frac{50}{5} \)

\( m_2 = 10 \) кг

Теперь найдем массу первого сплава:

\( m_1 = m_2 + 50 = 10 + 50 = 60 \) кг

И, наконец, найдем массу третьего сплава:

\( m_3 = m_1 + m_2 = 60 + 10 = 70 \) кг

Проверка:

Масса меди в первом сплаве: \( 60 \cdot 0.05 = 3 \) кг

Масса меди во втором сплаве: \( 10 \cdot 0.40 = 4 \) кг

Общая масса меди в третьем сплаве: \( 3 + 4 = 7 \) кг

Масса третьего сплава: \( 70 \) кг

Процент меди в третьем сплаве: \( \frac{7}{70} \cdot 100 \% = 0.1 \cdot 100 \% = 10 \% \). Это соответствует условию.

Ответ: 70