2) В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на одну больше, то в каждой было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе?

Дано:

Всего человек — 60 чел.

Условие 1: x групп, по y человек в каждой.

Условие 2: x + 1 группа, по y - 3 человека в каждой.

Найти:

x — ? групп,

y — ? человек.

Решение:

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x \cdot y = 60 \\ (x + 1) \cdot (y - 3) = 60 \end{cases} \)

Раскроем скобки во втором уравнении:

\( xy - 3x + y - 3 = 60 \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( 60 - 3x + y - 3 = 60 \)

\( -3x + y - 3 = 0 \)

\( y = 3x + 3 \)

Подставим y в первое уравнение:

\( x \cdot (3x + 3) = 60 \)

\( 3x^2 + 3x = 60 \)

\( 3x^2 + 3x - 60 = 0 \)

Разделим на 3:

\( x^2 + x - 20 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \)

\( \sqrt{D} = 9 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = -5 \)

Так как количество групп не может быть отрицательным, то x = 4.

Найдем y:

\( y = 3x + 3 = 3 \cdot 4 + 3 = 12 + 3 = 15 \)

Проверка:

Если групп 4, то в каждой по 15 человек (4 * 15 = 60).

Если бы групп было на одну больше (4 + 1 = 5), то в каждой было бы на 3 человека меньше (15 - 3 = 12).

5 * 12 = 60. Всё верно.

Ответ: Было 4 группы, в каждой по 15 человек.