1) В несколько коробок разложили поровну 36 карандашей. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке?

Дано:

Всего карандашей — 36 шт.

Условие 1: x коробок, по y карандашей в каждой.

Условие 2: x — 2 коробки, по y + 3 карандашей в каждой.

Найти:

x — ? коробок,

y — ? карандашей.

Решение:

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x \cdot y = 36 \\ (x - 2) \cdot (y + 3) = 36 \end{cases} \)

Раскроем скобки во втором уравнении:

\( xy + 3x - 2y - 6 = 36 \)

Подставим первое уравнение во второе:

\( 36 + 3x - 2y - 6 = 36 \)

\( 3x - 2y - 6 = 0 \)

\( 3x - 2y = 6 \)

Выразим y из первого уравнения:

\( y = \frac{36}{x} \)

Подставим y в полученное уравнение:

\( 3x - 2 \cdot \frac{36}{x} = 6 \)

\( 3x - \frac{72}{x} = 6 \)

Умножим всё на x:

\( 3x^2 - 72 = 6x \)

\( 3x^2 - 6x - 72 = 0 \)

Разделим на 3:

\( x^2 - 2x - 24 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \)

\( \sqrt{D} = 10 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2} = -4 \)

Так как количество коробок не может быть отрицательным, то x = 6.

Найдем y:

\( y = \frac{36}{x} = \frac{36}{6} = 6 \)

Проверка:

Если коробок 6, то в каждой по 6 карандашей (6 * 6 = 36).

Если бы коробок было на 2 меньше (6 - 2 = 4), то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше (6 + 3 = 9).

4 * 9 = 36. Всё верно.

Ответ: Было 6 коробок, в каждой по 6 карандашей.