2) В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А проведена биссектриса ВМ. L BMC = 105°. Найдите угол С.

Решение:

1. Свойства биссектрисы: Биссектриса ВМ делит угол В пополам.
2. Угол ВМС: Угол ВМС = 105°.
3. Угол В: В треугольнике ВСМ угол ВСМ = 90°. Угол ВМС = 105°. Сумма углов треугольника = 180°. Угол В = 180° - 90° - 105° = -15°. Это невозможно, так как углы треугольника не могут быть отрицательными.
4. Пересмотр условия: Возможно, в условии опечатка, и L BMC = 105° не является углом треугольника ВСМ. Угол ВМС — это угол, образованный биссектрисой и стороной ВС.
5. Пересчет: В треугольнике АВС угол А = 90°. Пусть угол С = y, тогда угол В = 90° - y.
6. Угол АВМ: Угол АВМ = Угол В / 2 = (90° - y) / 2.
7. Угол СВМ: Угол СВМ = Угол В / 2 = (90° - y) / 2.
8. Рассмотрим треугольник ВМС: Угол С = y. Угол СВМ = (90° - y) / 2. Угол ВМС = 105°.
9. Уравнение: y + (90° - y) / 2 + 105° = 180°.
10. Решение: Умножим все на 2: 2y + 90° - y + 210° = 360°. y + 300° = 360°. y = 60°.
11. Проверка: Угол С = 60°. Угол В = 90° - 60° = 30°. Угол СВМ = 30° / 2 = 15°. Угол ВМС = 180° - 60° - 15° = 105°.

Ответ: Угол С = 60°.