2. Упростите выражение: a) \(\frac{5^{n+1} - 3 \cdot 5^{n}}{2 \cdot 5^{n-1}}\); б) (0,125x⁻³y⁻²)² ⋅ \(\left\)\(\frac{x⁻³}{8y²}\right\)⁻³.

2. Упростите выражение:

1. 
   

   a) \(\frac{5^{n+1} - 3 \cdot 5^{n}}{2 \cdot 5^{n-1}}\)

   
   

   Вынесем общий множитель \( 5^{n} \) в числителе:

   
   

   \( 5^{n+1} = 5^{n} \cdot 5^{1} \)

   
   

   Числитель: \( 5^{n} \cdot 5 - 3 \cdot 5^{n} = 5^{n}(5 - 3) = 5^{n} \cdot 2 \)

   
   

   Знаменатель: \( 2 \cdot 5^{n-1} = 2 \cdot 5^{n} \cdot 5^{-1} = 2 \cdot 5^{n} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5^{n}}{5} \)

   
   

   Теперь подставим упрощённые числитель и знаменатель:

   
   

   \( \frac{5^{n} \cdot 2}{\frac{2 \cdot 5^{n}}{5}} = (5^{n} \cdot 2) \cdot \frac{5}{2 \cdot 5^{n}} \)

   
   

   Сократим \( 5^{n} \) и \( 2 \):

   
   

   \( \frac{5}{1} = 5 \)

   
   

   Ответ: 5

   
   


2. 
   

   б) (0,125x⁻³y⁻²)² ⋅ \(\left\)\(\frac{x⁻³}{8y²}\right\)⁻³

   
   

   Преобразуем десятичную дробь:

   
   

   \( 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \)

   
   

   Возведём первое выражение в квадрат:

   
   

   \( \left(\frac{1}{8}x^{-3}y^{-2}\right)² = \left(\frac{1}{8}\right)² \cdot (x^{-3})² \cdot (y^{-2})² = \frac{1}{64} x^{-6}y^{-4} \)

   
   

   Возведём второе выражение в степень -3:

   
   

   \( \left(\frac{x^{-3}}{8y²}\right)⁻³ = \left(\frac{8y²}{x^{-3}}\right)³ = \frac{(8y²)^3}{(x^{-3})^3} = \frac{8³ \cdot (y²)^3}{x^{-9}} = \frac{512 y^6}{x^{-9}} = 512 y^6 x^9 \)

   
   

   Теперь перемножим полученные результаты:

   
   

   \( \frac{1}{64} x^{-6}y^{-4} \cdot 512 y^6 x^9 \)

   
   

   Перегруппируем множители:

   
   

   \( \frac{512}{64} \cdot x^{-6+9} \cdot y^{-4+6} \)

   
   

   \( 8 \cdot x^{3} \cdot y^{2} \)

   
   

   Ответ: 8x³y²