1. Вычислите: a) 8⁻³ ⋅ 16⁴; б) 5\(\frac{1}{3}\) ⋅ \(\left\)\(-\frac{2}{3}\right\)⁻³ + 0,5; в) \(\frac{6³ ⋅ (12²)⁻²}{(18⁻¹)²}\); г) \(\left\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\right\)⁻² ⋅ \(\left\)\(-1\frac{1}{3}\right\)⁻².

1. Вычислите:

1. 
   

   a) 8⁻³ ⋅ 16⁴

   
   

   Представим числа в виде степеней двойки:

   
   

   \( 8 = 2³ \)

   
   

   \( 16 = 2⁴ \)

   
   

   Подставим и вычислим:

   
   

   \( (2³)^{-3} \cdot (2⁴)⁴ = 2^{3 \cdot (-3)} \cdot 2^{4 \cdot 4} = 2^{-9} \cdot 2^{16} = 2^{-9 + 16} = 2^{7} = 128 \)

   
   

   Ответ: 128

   
   


2. 
   

   б) 5\(\frac{1}{3}\) ⋅ \(\left\)\(-\frac{2}{3}\right\)⁻³ + 0,5

   
   

   Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

   
   

   \( 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} \)

   
   

   Возведём дробь в отрицательную степень:

   
   

   \( \left(-\frac{2}{3}\right)⁻³ = \left(-\frac{3}{2}\right)³ = \frac{(-3)³}{2³} = \frac{-27}{8} \)

   
   

   Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

   
   

   \( 0,5 = \frac{1}{2} \)

   
   

   Теперь выполним умножение и сложение:

   
   

   \( \frac{16}{3} \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) + \frac{1}{2} = \frac{16 \cdot (-27)}{3 \cdot 8} + \frac{1}{2} \)

   
   

   Сократим дроби:

   
   

   \( \frac{2 \cdot (-9)}{1 \cdot 1} + \frac{1}{2} = -18 + \frac{1}{2} = -17\frac{1}{2} \)

   
   

   Ответ: -17\(\frac{1}{2}\)

   
   


3. 
   

   в) \(\frac{6³ ⋅ (12²)⁻²}{(18⁻¹)²}\)

   
   

   Преобразуем выражения:

   
   

   \( 6³ \)

   
   

   \( (12²)⁻² = 12^{2 \cdot (-2)} = 12^{-4} \)

   
   

   \( (18⁻¹)² = 18^{-1 \cdot 2} = 18^{-2} \)

   
   

   Подставим и упростим:

   
   

   \( \frac{6³ ⋅ 12^{-4}}{18^{-2}} = 6³ \cdot 12^{-4} \cdot 18^{2} \)

   
   

   Разложим основания степеней на простые множители:

   
   

   \( 6 = 2 \cdot 3 \)

   
   

   \( 12 = 2² \cdot 3 \)

   
   

   \( 18 = 2 \cdot 3² \)

   
   

   Подставим разложения:

   
   

   \( (2 \cdot 3)³ \cdot (2² \cdot 3)^{-4} \cdot (2 \cdot 3²)^{2} \)

   
   

   \( 2³ \cdot 3³ \cdot (2²)^{-4} \cdot 3^{-4} \cdot 2^{2} \cdot (3²)^{2} \)

   
   

   \( 2³ \cdot 3³ \cdot 2^{-8} \cdot 3^{-4} \cdot 2^{2} \cdot 3^{4} \)

   
   

   Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

   
   

   \( 2^{3 - 8 + 2} \cdot 3^{3 - 4 + 4} \)

   
   

   \( 2^{-3} \cdot 3^{3} = \frac{3³}{2³} = \frac{27}{8} \)

   
   

   Ответ: \(\frac{27}{8}\)

   
   


4. 
   

   г) \(\left\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\right\)⁻² ⋅ \(\left\)\(-1\frac{1}{3}\right\)⁻²

   
   

   Преобразуем смешанное число:

   
   

   \( -1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3} \)

   
   

   Возведём в отрицательную степень:

   
   

   \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)⁻² = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)² = \frac{2²}{(\sqrt{3})²} = \frac{4}{3} \)

   
   

   \( \left(-\frac{4}{3}\right)⁻² = \left(-\frac{3}{4}\right)² = \frac{(-3)²}{4²} = \frac{9}{16} \)

   
   

   Перемножим результаты:

   
   

   \( \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 16} = \frac{36}{48} \)

   
   

   Сократим дробь:

   
   

   \( \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4} \)

   
   

   Ответ: \(\frac{3}{4}\)