2. Упростите выражение: a) 1,6x⁶y¹⁰ : 15x³y^-4; б) \left(\frac{3a^3b^{-5}}{2b^{-6}}\right)^{-2}.

Решение:

Для упрощения выражений будем использовать свойства степеней.

а) 1,6x⁶y¹⁰ : 15x³y^-4

Разделим коэффициенты и степени с одинаковыми переменными:

• \[ \frac{1,6}{15} \cdot \frac{x^6}{x^3} \cdot \frac{y^{10}}{y^{-4}} \]
• \[ \frac{1,6}{15} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75} \]
• \[ \frac{x^6}{x^3} = x^{6-3} = x^3 \]
• \[ \frac{y^{10}}{y^{-4}} = y^{10 - (-4)} = y^{10+4} = y^{14} \]
• Собираем все вместе:
• \[ \frac{8}{75} x^3 y^{14} \]

б) \left(\frac{3a^3b^{-5}}{2b^{-6}}\right)^{-2}

Сначала упростим выражение внутри скобок:

• \[ \frac{3a^3b^{-5}}{2b^{-6}} = \frac{3}{2} a^3 b^{-5 - (-6)} = \frac{3}{2} a^3 b^{-5+6} = \frac{3}{2} a^3 b^1 = \frac{3}{2} a^3 b \]
• Теперь возведем полученное выражение в степень -2:
• \[ \left(\frac{3}{2} a^3 b\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3} a^{-3} b^{-1}\right)^2 \]
• \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot (a^{-3})^2 \cdot (b^{-1})^2 \]
• \[ \frac{4}{9} a^{-6} b^{-2} \]
• Представим в виде дроби:
• \[ \frac{4}{9a^6b^2} \]

Ответ:

• а) \frac{8}{75} x^3 y^{14}
• б) \frac{4}{9a^6b^2}