2. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

Пусть углы треугольника АВС относятся как 1:2:3. Обозначим углы как \( x \), \( 2x \) и \( 3x \).

Сумма углов треугольника равна 180°: \( x + 2x + 3x = 180° \).

\( 6x = 180° \).

\( x = 30° \).

Следовательно, углы треугольника равны:

• \( \angle A = x = 30° \)
• \( \angle B = 2x = 60° \)
• \( \angle C = 3x = 90° \)

Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом C.

BM — биссектриса угла ABC, значит, она делит угол ABC пополам:

\( \angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \).

Рассмотрим треугольник MBC:

• \( \angle MBC = 30° \)
• \( \angle C = 90° \)
• \( \angle BMC = 180° - 90° - 30° = 60° \)

В треугольнике MBC, BM — гипотенуза, а MC — катет, лежащий против угла 30°.

По теореме о катете, противолежащем углу в 30°, катет равен половине гипотенузы:

\( MC = \frac{1}{2} BM \).

Нам дано, что BM = 6.

\( MC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \).

Ответ: 3.