№2. Треугольник DKF-прямоугольный. Углы К и F этого треугольника равны соответственно 30° и 90°. Найдите гипотенузу DK этого треугольника, если катет FD равен 5,6 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике DKF:

• \( \angle F = 90° \)
• \( \angle K = 30° \)
• \( FD = 5,6 \) см

Найдем третий угол \( \angle D \):

\[ \angle D = 180° - 90° - 30° = 60° \]

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

В нашем случае катет FD лежит против угла \( \angle D = 60° \), а катет FK лежит против угла \( \angle K = 30° \).

Следовательно, катет FK равен половине гипотенузы DK:

\[ FK = \frac{1}{2} DK \]

Для нахождения гипотенузы DK, зная катет FD, используем теорему Пифагора:

\[ DK^2 = FD^2 + FK^2 \]

Выразим FK через DK:

\[ FK = DK \cdot \cos(30°) = DK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставим в теорему Пифагора:

\[ DK^2 = (5,6)^2 + \left( DK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \]

\[ DK^2 = 31,36 + DK^2 \cdot \frac{3}{4} \]

\[ DK^2 - \frac{3}{4} DK^2 = 31,36 \]

\[ \frac{1}{4} DK^2 = 31,36 \]

\[ DK^2 = 31,36 \cdot 4 = 125,44 \]

\[ DK = \sqrt{125,44} = 11,2 \) см

Альтернативное решение с использованием синуса:

Катет FD лежит против угла \( \angle K = 30° \). Следовательно:

\[ FD = DK \cdot \sin(\angle K) \]

\[ 5,6 = DK \cdot \sin(30°) \]

\[ 5,6 = DK \cdot \frac{1}{2} \]

\[ DK = 5,6 \(\cdot\) 2 = 11,2 \) см

Ответ: 11,2 см.