2. Тип 16 Вариант 2 Точка О центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC = 69° и ∠OAB = 48°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

\(\angle ABC\) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Величина дуги AC равна удвоенной величине вписанного угла.

\[ \text{дуга} AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 69^{\circ} = 138^{\circ} \]

\(\angle AOC\) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу AC. Следовательно, \(\angle AOC = \text{дуга} AC = 138^{\circ}\).

Рассмотрим треугольник \(OAB\). \(OA = OB\) (радиусы), значит, \(\triangle OAB\) — равнобедренный.

\(\angle OBA = \angle OAB = 48^{\circ}\).

\(\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 48^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}\).

Сумма центральных углов, образованных точками A, B, C на окружности, равна \(360^{\circ}\).

\[ \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^{\circ} \]

Но это не всегда так, если точки расположены не по порядку. Лучше найти \(\angle BOC\) через дугу BC.

\( \text{дуга} AB = 2 \cdot \angle ACB \) (если \(\angle ACB\) — вписанный).

\( \text{дуга} BC = 360^{\circ} - \text{дуга} AC - \text{дуга} AB \).

Найдём \(\angle BOC\) другим способом.

В треугольнике \(OBC\): \(OB = OC\) (радиусы), значит, \(\triangle OBC\) — равнобедренный.

\(\angle OBC = \angle OCB\).

\(\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC\) или \(\angle ABC = |\angle OBA - \angle OBC|\).

Поскольку \(\angle ABC = 69^{\circ}\) и \(\angle OBA = 48^{\circ}\), то \(\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 69^{\circ} - 48^{\circ} = 21^{\circ}\).

Так как \(\triangle OBC\) равнобедренный, \(\angle OCB = \angle OBC = 21^{\circ}\).

Ответ: 21