2. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность выпадения орла при одном броске симметричной монеты равна \( p = 0.5 \), а вероятность выпадения решки равна \( q = 1 - p = 0.5 \).

Формула вероятности выпадения \( k \) орлов при \( n \) бросках:

\( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)

где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

В нашем случае \( n = 10 \), \( p = 0.5 \), \( q = 0.5 \).

1. Вероятность выпадения ровно 5 орлов (k=5):

\( P(X=5) = C_{10}^5 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5} = C_{10}^5 \cdot (0.5)^{10} \)

\( C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 3 \times 2 \times 7 \times 3 = 252 \)

\( P(X=5) = 252 \cdot (0.5)^{10} \)

2. Вероятность выпадения ровно 4 орлов (k=4):

\( P(X=4) = C_{10}^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10-4} = C_{10}^4 \cdot (0.5)^{10} \)

\( C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \)

\( P(X=4) = 210 \cdot (0.5)^{10} \)

3. Найдем, во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»:

\( \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{252 \cdot (0.5)^{10}}{210 \cdot (0.5)^{10}} = \frac{252}{210} \)

Сократим дробь:

\( \frac{252}{210} = \frac{126}{105} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5} = 1.2 \)

Ответ: в 1.2 раза