1. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение:

Обозначим событие \( A \) как успешную передачу сообщения, а \( B \) как неуспешную.

Вероятность успешной передачи сообщения в одной попытке: \( P(A) = 0.4 \).

Вероятность неуспешной передачи сообщения в одной попытке: \( P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6 \).

Мы хотим найти вероятность того, что сообщение потребуется не больше двух попыток. Это означает, что сообщение будет передано либо с первой попытки, либо со второй.

1. Случай 1: Сообщение передано с первой попытки.
   Вероятность этого события равна \( P(A) = 0.4 \).
2. Случай 2: Сообщение передано со второй попытки.
   Это означает, что первая попытка была неуспешной, а вторая — успешной. Вероятность этого события равна \( P(B) \cdot P(A) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 \).

Чтобы найти общую вероятность того, что потребуется не больше двух попыток, нужно сложить вероятности этих двух несовместных случаев:

\( P(\text{не больше двух попыток}) = P(\text{успех с 1-й}) + P(\text{неудача с 1-й и успех со 2-й}) \)

\( P(\text{не больше двух попыток}) = 0.4 + 0.24 = 0.64 \)

Ответ: 0.64