2. Рис. 846. Найти: ∠ACE.

Решение:

\( \angle BAC = 40^{\circ} \), \( \angle CAD = 10^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \). \( \text{arc}(AC) = 2 \cdot \angle ABC \).

Вписанный угол \( \angle ABC \) равен \( \angle ABD \) - \( \angle CBD \).

Угол \( \angle ADB \) — внешний угол треугольника \( ABC \), поэтому \( \angle ADB = \angle BAC + \angle ABC \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \). \( \angle ADC \) опирается на дугу \( AC \).

\( \angle BAC = 40^{\circ} \).

\( \angle CDB = 10^{\circ} \).

Угол \( \angle CBD = 30^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle BAC = 40^{\circ} \) опирается на дугу \( BC \). Следовательно, \( \text{arc}(BC) = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle BDC = 10^{\circ} \) опирается на дугу \( BC \). Следовательно, \( \text{arc}(BC) = 2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ} \).

Возникло противоречие. Пересмотрим условие. На рисунке \( \angle CAD = 10^{\circ} \), \( \angle ADB = 10^{\circ} \).

\( \angle BAC = 40^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle BDA = 10^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle BCA \) опирается на дугу \( AB \).

Вписанный угол \( \angle CDB = 10^{\circ} \) опирается на дугу \( CB \). Следовательно, \( \text{arc}(CB) = 2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle CAB = 40^{\circ} \) опирается на дугу \( CB \). Следовательно, \( \text{arc}(CB) = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Снова противоречие. Будем исходить из углов, которые даны рядом с дугами. \( 40^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \).

\( \angle BAC = 40^{\circ} \).

\( \angle CDB = 10^{\circ} \). Следовательно, \( \text{arc}(BC) = 2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ} \).

\( \angle CAD = 10^{\circ} \). Угол \( \angle CAD \) вписанный и опирается на дугу \( CD \). Следовательно, \( \text{arc}(CD) = 2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ} \).

\( \angle ACB \) опирается на дугу \( AB \).

\( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \). \( \text{arc}(AC) = \text{arc}(AD) + \text{arc}(DC) \).

Угол \( \angle ADB = 10^{\circ} \). Опирается на дугу \( AB \). Следовательно, \( \text{arc}(AB) = 2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ} \).

\( \text{arc}(AC) = \text{arc}(AB) + \text{arc}(BC) = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{arc}(AC) = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ} \).

Угол \( \angle ACE \) — внешний угол треугольника \( ABC \). \( \angle ACE = \angle BAC + \angle ABC \).

\( \angle ACE = 40^{\circ} + 20^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( 60^{\circ} \).