2. При каких значениях параметра k график прямой пропорциональности y = kx проходит: а) хотя бы через одну точку графика функции y = -x - 100; б) только через одну точку отрезка AB, где A(-4; -1), B(-1; -1)?

Решение:

а) График \( y = kx \) проходит хотя бы через одну точку графика функции \( y = -x - 100 \).

Подставим \( y = kx \) в уравнение \( y = -x - 100 \):

\( kx = -x - 100 \)
\( kx + x = -100 \)
\( x(k+1) = -100 \).

Чтобы существовало хотя бы одно решение, необходимо, чтобы \( k+1 \neq 0 \), то есть \( k \neq -1 \).
Если \( k = -1 \), то \( 0 = -100 \), что невозможно.

Ответ а): \( k \neq -1 \).

б) График \( y = kx \) проходит только через одну точку отрезка AB, где A(-4; -1), B(-1; -1).

Отрезок AB задан условиями: \( -4 \le x \le -1 \) и \( y = -1 \).

Подставим \( y = -1 \) в уравнение \( y = kx \):

\( -1 = kx \)
\( k = -\frac{1}{x} \).

Чтобы график \( y = kx \) проходил только через одну точку отрезка AB, необходимо, чтобы значение \( k = -\frac{1}{x} \) принимало только одно значение при \( -4 \le x \le -1 \).

Рассмотрим функцию \( f(x) = -\frac{1}{x} \) на отрезке \( [-4; -1] \).

Найдем значения \( k \) на концах отрезка:

При \( x = -4 \): \( k = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4} \).

При \( x = -1 \): \( k = -\frac{1}{-1} = 1 \).

Функция \( f(x) = -\frac{1}{x} \) является монотонно возрастающей на интервале \( (- \infty; 0) \). Следовательно, на отрезке \( [-4; -1] \) она принимает все значения от \( \frac{1}{4} \) до \( 1 \).

Чтобы график \( y = kx \) проходил только через одну точку отрезка AB, необходимо, чтобы \( k \) принимало только одно значение. Это возможно только в предельном случае, если бы отрезок AB состоял из одной точки, что не так.

Переформулируем условие: график \( y = kx \) должен пересекать отрезок AB ровно в одной точке. Это значит, что \( k \) должно соответствовать одному из концов отрезка, либо быть таким, чтобы прямая проходила через этот отрезок.

Если \( k = \frac{1}{4} \), то \( y = \frac{1}{4} x \). При \( x = -4 \), \( y = -1 \). Это точка A.

Если \( k = 1 \), то \( y = x \). При \( x = -1 \), \( y = -1 \). Это точка B.

Если \( k \) находится между \( \frac{1}{4} \) и \( 1 \), то прямая \( y = kx \) пересечёт отрезок AB в одной точке.

Задание сформулировано как "только через одну точку". Это означает, что \( k \) должно быть таким, чтобы прямая проходила ровно через одну точку отрезка. Если \( k = \frac{1}{4} \) или \( k = 1 \), прямая проходит через одну из конечных точек отрезка. Если \( \frac{1}{4} < k < 1 \), прямая пересекает отрезок в одной точке.

Скорее всего, имеется в виду, что прямая \( y = kx \) должна пересекать отрезок AB, но не всю прямую \( y = -1 \).

Если \( k = \frac{1}{4} \), прямая проходит через A(-4, -1).

Если \( k = 1 \), прямая проходит через B(-1, -1).

Для любого \( k \) в интервале \( (\frac{1}{4}; 1) \), прямая \( y = kx \) будет проходить через одну точку отрезка AB.

Следовательно, \( k \) должно быть таким, чтобы \( -\frac{1}{x} \) для \( x \in [-4; -1] \) принимало одно значение, что возможно только если отрезок состоит из одной точки, либо если \( k \) равно одному из крайних значений.

Если \( k = \frac{1}{4} \), то \( y = \frac{1}{4} x \). При \( x = -4 \), \( y = -1 \). Точка A. При \( x \in (-4; -1] \), \( y = \frac{1}{4} x \) будет больше \( -1 \). Например, при \( x = -1 \), \( y = -\frac{1}{4} \).

Если \( k = 1 \), то \( y = x \). При \( x = -1 \), \( y = -1 \). Точка B. При \( x \in [-4; -1) \), \( y = x \) будет меньше \( -1 \). Например, при \( x = -4 \), \( y = -4 \).

Таким образом, для \( k = \frac{1}{4} \) и \( k = 1 \), прямая проходит через одну конечную точку отрезка.

Для \( \frac{1}{4} < k < 1 \), прямая проходит через внутреннюю точку отрезка.

Если под "только через одну точку" понимается, что прямая \( y=kx \) должна пересекать отрезок AB, но не пересекать всю прямую \( y=-1 \) за пределами отрезка AB.

Если \( k \) таково, что \( y = kx \) пересекает отрезок AB, то \( k \) должно быть в диапазоне \( [\frac{1}{4}, 1] \).

Если \( k = \frac{1}{4} \), прямая проходит через A. Для \( x > -4 \) (в пределах отрезка), \( y = \frac{1}{4}x > -1 \).

Если \( k = 1 \), прямая проходит через B. Для \( x < -1 \) (в пределах отрезка), \( y = x < -1 \).

По условию, \( y = -1 \) на отрезке. Значит, \( kx = -1 \), \( k = -1/x \).

Диапазон значений \( -1/x \) для \( x ∈ [-4, -1] \) есть \( [1/4, 1] \).

Чтобы прямая \( y = kx \) проходила ТОЛЬКО через одну точку отрезка AB, \( k \) должно принимать одно конкретное значение. Это возможно, если \( k \) равно одному из крайних значений \( 1/4 \) или \( 1 \).

Ответ б): \( k = \frac{1}{4} \) или \( k = 1 \).