2. Представьте в виде дроби: a) $$\frac{42x^5}{y^4} \cdot \frac{y^2}{14x^5}$$ б) $$\frac{63a^3b}{c} : (18a^2b)$$ в) $$\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3}$$

Решение:

а) Умножаем дроби $$\frac{42x^5}{y^4} \cdot \frac{y^2}{14x^5}$$

1. Перемножим числители и знаменатели:
• $$\frac{42x^5 \times y^2}{y^4 \times 14x^5}$$
2. Сократим дробь, используя свойства степеней ($$a^m/a^n = a^{m-n}$$) и числовые коэффициенты:
• $$42/14 = 3$$
• $$x^5/x^5 = x^{5-5} = x^0 = 1$$
• $$y^2/y^4 = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$$
3. Объединяем сокращенные части:
4. $$3 \times 1 \times \frac{1}{y^2} = \frac{3}{y^2}$$

б) Делим дробь $$\frac{63a^3b}{c} : (18a^2b)$$

1. Представим второе выражение как дробь: $$(18a^2b) = \frac{18a^2b}{1}$$
2. Деление на дробь равно умножению на обратную ей дробь:
• $$\frac{63a^3b}{c} \times \frac{1}{18a^2b}$$
3. Перемножим числители и знаменатели:
• $$\frac{63a^3b \times 1}{c \times 18a^2b}$$
4. Сократим дробь:
• $$63/18$$: оба числа делятся на 9. $$63/9 = 7$$, $$18/9 = 2$$. Получаем $$7/2$$.
• $$a^3/a^2 = a^{3-2} = a^1 = a$$
• $$b/b = 1$$
5. Объединяем сокращенные части:
6. $$\frac{7a}{c \times 2} = \frac{7a}{2c}$$

в) Делим дроби $$\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3}$$

1. Представим деление как умножение на обратную дробь:
• $$\frac{4a^2-1}{a^2-9} \times \frac{a+3}{6a+3}$$
2. Разложим числители и знаменатели на множители:
• $$4a^2-1$$ — это разность квадратов: $$(2a-1)(2a+1)$$
• $$a^2-9$$ — это разность квадратов: $$(a-3)(a+3)$$
• $$6a+3$$ — вынесем общий множитель 3: $$3(2a+1)$$
• $$a+3$$ — остается без изменений.
3. Подставим разложенные множители в выражение:
• $$\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \times \frac{a+3}{3(2a+1)}$$
4. Сократим общие множители $$(2a+1)$$ и $$(a+3)$$:
• $$\frac{(2a-1)\(cancel{2a+1}\)}{(a-3)\(cancel{a+3}\)} \times \frac{cancel{a+3}}{3\(cancel{2a+1}\)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}$$

Ответ: а) $$\frac{3}{y^2}$$; б) $$\frac{7a}{2c}$$; в) $$\frac{2a-1}{3(a-3)}$$