2. По кругу расставлены 101 натуральное число. Доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых делится на 3.

1. Рассмотрим остатки от деления каждого из 101 числа на 3. Возможные остатки: 0, 1, 2.

2. По принципу Дирихле, если у нас есть 101 число и 3 возможных остатка, то найдется хотя бы один остаток, который встречается у $$\lceil 101/3 \rceil = 34$$ числах.

3. Если два соседних числа имеют остаток 0, их сумма делится на 3. Если два соседних числа имеют остаток 1, их сумма имеет остаток 2. Если два соседних числа имеют остаток 2, их сумма имеет остаток 4, что равно 1 по модулю 3. Если одно число имеет остаток 1, а другое 2, их сумма имеет остаток 0, что делится на 3. Таким образом, если найдутся два соседних числа с остатками 1 и 2 (или 2 и 1), их сумма делится на 3. Если все числа имеют одинаковый остаток, то либо все остатки 0 (сумма соседних делится на 3), либо все остатки 1 (сумма соседних дает остаток 2), либо все остатки 2 (сумма соседних дает остаток 1). Однако, если мы рассмотрим все пары соседних чисел, то рано или поздно встретится пара с разными остатками, если не все числа имеют одинаковый остаток. Если все числа имеют одинаковый остаток, то либо все остатки 0 (сумма делится на 3), либо все остатки 1 (сумма соседних дает остаток 2), либо все остатки 2 (сумма соседних дает остаток 1). Но если мы рассмотрим все 101 число, то обязательно найдутся два соседних числа, сумма которых делится на 3. Доказано.