2, Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 76°, ∠ACD = 39°, ∠CBD = 48°.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠ADB = 76°
• ∠ACD = 39°
• ∠CBD = 48°

Найти: Углы четырёхугольника ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Решение:

Для четырёхугольника, вписанного в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1. Найдём ∠ABC:

   ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD

   Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на дугу AD, значит, ∠ABD = ∠ACD = 39°.

   ∠ABC = 39° + 48° = 87°.

2. Найдём ∠ADC:

   ∠ADC = ∠ADB + ∠CDB

   Углы ∠CDB и ∠CAB опираются на дугу CB. Нам неизвестен ∠CAB. Однако, углы ∠ADB и ∠ACB опираются на дугу AB, значит, ∠ACB = ∠ADB = 76°.

   Теперь мы можем найти ∠ADC, если найдем ∠CDB. Углы ∠CDB и ∠CAB опираются на дугу CB. Чтобы найти ∠CAB, нам нужно знать ∠CDB. Мы знаем, что ∠CDB = ∠CDA - ∠ADB. Это не помогает. Давайте найдём ∠CDB другим способом. Углы ∠CDB и ∠CAB опираются на одну дугу CB. Также, ∠ADB = 76°, ∠ACB = 76°. ∠ACD = 39°, ∠ABD = 39°. ∠CBD = 48°.

   Пересчитаем:

   Угол ∠A = ∠CAB + ∠CAD.

   Угол ∠B = ∠ABD + ∠CBD = 39° + 48° = 87°.

   Угол ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 76° + 39° = 115°.

   Угол ∠D = ∠ADB + ∠CDB.

   Найдём ∠CDB:

   Угол ∠CAB опирается на дугу CB, как и ∠CDB. Следовательно, ∠CAB = ∠CDB.

   Угол ∠CAD опирается на дугу CD, как и ∠CBD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD = 48°.

   Угол ∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 76° + ∠CDB.

   Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 39° + 48° = 87°.

   Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 76° + 39° = 115°.

   В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

   ∠A + ∠C = 180°

   ∠B + ∠D = 180°

   Найдём ∠A:

   ∠A = ∠CAB + ∠CAD.

   Мы знаем, что ∠CAD = ∠CBD = 48°.

   Теперь нам нужно найти ∠CAB. Угол ∠CDB опирается на ту же дугу CB, что и ∠CAB. Значит, ∠CDB = ∠CAB.

   Рассмотрим треугольник △BCD. Сумма углов в нём равна 180°.

   ∠CBD + ∠BDC + ∠DCB = 180°.

   48° + ∠BDC + ∠DCB = 180°.

   Найдем ∠BDC:

   ∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = ∠ADC - 76°.

   Найдем ∠DCB:

   ∠DCB = ∠DCA + ∠ACB = 39° + 76° = 115°.

   Это ошибка, ∠DCB = ∠DCA + ∠ACB неверно. ∠DCB = ∠ACD + ∠ACB.

   Давайте вернемся к ∠C = 115°.

   ∠B = 87°.

   ∠A + ∠C = 180° => ∠A = 180° - 115° = 65°.

   ∠B + ∠D = 180° => ∠D = 180° - 87° = 93°.

   Проверим ∠A и ∠D:

   ∠A = ∠CAB + ∠CAD = ∠CAB + 48° = 65° => ∠CAB = 17°.

   ∠D = ∠ADB + ∠CDB = 76° + ∠CDB = 93° => ∠CDB = 17°.

   Проверка: Углы ∠CAB и ∠CDB опираются на одну дугу CB, и они равны 17°, что верно.

   Итоговые углы:

   • ∠A = 65°
   • ∠B = 87°
   • ∠C = 115°
   • ∠D = 93°

   Ответ: ∠A = 65°, ∠B = 87°, ∠C = 115°, ∠D = 93°.