2. Найдите: А) cos²30° + sin²45°; Б) sin²30° - sin²60°; B) tg30° · ctg30°.

Решение:

Используем значения тригонометрических функций для стандартных углов:

\( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \operatorname{ctg} 30^{\circ} = \sqrt{3} \).

А) \( \cos^2 30^{\circ} + \sin^2 45^{\circ} \)

\[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} \]

Б) \( \sin^2 30^{\circ} - \sin^2 60^{\circ} \)

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \]

В) \( \operatorname{tg} 30^{\circ} \cdot \operatorname{ctg} 30^{\circ} \)

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \]

Ответ: А) \( \frac{5}{4} \); Б) \( -\frac{1}{2} \); В) \( 1 \).