2. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 16 и BC = 49. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

1. Отрезок \( AB = AC + BC = 16 + 49 = 65 \).

2. Окружность имеет центр в точке \( A \) и радиус \( R = AC = 16 \).

3. Из точки \( B \) к окружности проведена касательная \( BK \), где \( K \) — точка касания. По свойству касательной, радиус \( AK \) перпендикулярен касательной \( BK \) в точке касания. Значит, \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

4. Треугольник \( ABK \) — прямоугольный с гипотенузой \( AB \) и катетами \( AK \) и \( BK \). По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AK^2 + BK^2 \)

Подставим известные значения:

\( 65^2 = 16^2 + BK^2 \)

\( 4225 = 256 + BK^2 \)

\( BK^2 = 4225 - 256 \)

\( BK^2 = 3969 \)

\( BK = \sqrt{3969} \)

\( BK = 63 \)

Ответ: 63