2. На огромной мишени в виде координатной плоскости расставлены мишени в точках с целыми координатами. Известно, что никакие четыре мишени не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся область в форме круга радиуса 1995, в которой не окажется ни одной мишени.

2. Доказательство существования пустой области в форме круга

Эта задача связана с теоремой Эрдёша — Сосновского или теоремой Ван дер Вардена, но с вариацией для круговых областей. Для её решения мы воспользуемся методом доказательства от противного и принципом Дирихле (или методом 'ящиков').

1. Предположение от противного: Допустим, что не существует круга радиуса \( R=1995 \), в котором не оказалось бы ни одной мишени. Это означает, что любая область в форме круга радиуса \( R=1995 \) содержит хотя бы одну мишень.
2. Создание сетки: Рассмотрим сетку квадратов со стороной \( S \). По теореме Ван дер Вардена, для любого \( k \) существует такое \( W(k) \), что если мы раскрасим натуральные числа в \( k \) цветов, то найдётся арифметическая прогрессия длины \( k \) одного цвета. Эта теорема, однако, работает с числами, а нам нужна плоскость.
3. Принцип Дирихле на плоскости: Рассмотрим такую конструкцию. Выберем большое число \( M \) (например, \( M = 2 R^2 \) или больше). Разделим плоскость на квадраты со стороной \( L \), достаточно большой, чтобы квадрат \( L L \) гарантированно содержал бы мишень.
4. Построение квадратов: Выберем очень большое целое число \( N \). Рассмотрим сетку из \( N N \) квадратов со стороной \( L \). Если мы хотим, чтобы в любом круге радиуса \( R=1995 \) была мишень, мы можем применить метод