1. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида: 1) 4k+1, 2) 3k + 2, 3) 6k+5.

1. Доказательство бесконечности простых чисел заданного вида

Это классические задачи теории чисел, для решения которых обычно используются методы, схожие с доказательством бесконечности простых чисел Евклида, но с учётом специфики арифметических прогрессий.

1) Простые числа вида 4k+1

1. Предположим противное: существует конечное число простых чисел вида 4k+1: \( p_1, p_2, ..., p_n \).
2. Рассмотрим число \( N = (2p_1 p_2 ... p_n)^2 + 1 \).
3. Любой простой делитель числа \( N \) не может быть равен 2, так как \( N \) — нечётное.
4. Если \( q \) — простой делитель \( N \), то \( (2p_1 ... p_n)^2 ≡ -1 ≡ 3 (mod q) \).
5. Это означает, что \( -1 \) является квадратичным вычетом по модулю \( q \), что возможно только если \( q \) имеет вид \( 4m+1 \) (или \( q=2 \), что исключено).
6. Следовательно, \( N \) имеет простой делитель вида \( 4m+1 \).
7. Этот делитель не может быть ни одним из \( p_i \), так как \( N ≡ 1 (mod p_i) \).
8. Таким образом, существует простой делитель \( q \) вида \( 4m+1 \), отличный от \( p_1, ..., p_n \), что противоречит предположению о конечности.

2) Простые числа вида 3k+2

1. Предположим противное: существует конечное число простых чисел вида 3k+2: \( p_1, p_2, ..., p_n \).
2. Рассмотрим число \( N = 3(p_1 p_2 ... p_n) - 1 \).
3. $$N$$ не делится на 3, так как $$N 3(...)-1 -1 2 (mod 3)$$.
4. Любой простой делитель $$q$$ числа $$N$$ не может быть равен 3.
5. Рассмотрим разложение $$N$$ на простые множители: $$N = q_1 q_2 ... q_m$$.
6. Если бы все простые делители $$q_i$$ были вида $$3k+1$$, то их произведение также было бы вида $$3k+1$$ (так как $$(3a+1)(3b+1) = 9ab+3a+3b+1 = 3(3ab+a+b)+1$$).
7. Однако $$N -1 2 (mod 3)$$.
8. Следовательно, среди простых делителей $$N$$ должен быть хотя бы один простой делитель вида $$3k+2$$.
9. Этот простой делитель не может быть ни одним из \( p_i \), так как \( N -1 0 (mod p_i) \).
10. Таким образом, существует простой делитель вида $$3k+2$$, отличный от \( p_1, ..., p_n \), что противоречит предположению.

3) Простые числа вида 6k+5

1. Предположим противное: существует конечное число простых чисел вида 6k+5: \( p_1, p_2, ..., p_n \).
2. Рассмотрим число \( N = 6(p_1 p_2 ... p_n) - 1 \).
3. $$N$$ не делится на 2 (так как $$6(...)-1$$ нечётно).
4. $$N$$ не делится на 3 (так как $$6(...)-1 -1 2 (mod 3)$$).
5. Следовательно, простые делители $$N$$ не могут быть равны 2 или 3.
6. Любое простое число, отличное от 2 и 3, имеет вид $$6k+1$$ или $$6k+5$$.
7. Рассмотрим разложение $$N$$ на простые множители: $$N = q_1 q_2 ... q_m$$.
8. Если бы все простые делители $$q_i$$ были вида $$6k+1$$, то их произведение также было бы вида $$6k+1$$ (так как $$(6a+1)(6b+1) = 36ab+6a+6b+1 = 6(6ab+a+b)+1$$).
9. Однако $$N -1 5 (mod 6)$$.
10. Следовательно, среди простых делителей $$N$$ должен быть хотя бы один простой делитель вида $$6k+5$$.
11. Этот простой делитель не может быть ни одним из \( p_i \), так как \( N -1 0 (mod p_i) \).
12. Таким образом, существует простой делитель вида $$6k+5$$, отличный от \( p_1, ..., p_n \), что противоречит предположению.

Ответ: Доказано, что простых чисел вида 4k+1, 3k+2 и 6k+5 бесконечно много.