2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠OBC = 34° (рис. 2). Найдите ∠BAC.

Решение:

В данном случае у нас есть окружность с центром О. Лучи АВ и АС являются касательными к окружности в точках В и С соответственно. Это означает, что радиусы ОВ и ОС перпендикулярны касательным АВ и АС. Таким образом, ∠ABO = ∠ACO = 90°.

Рассмотрим треугольник ОВС. Так как ОВ и ОС — радиусы окружности, то треугольник ОВС — равнобедренный (ОВ = ОС). Следовательно, углы при основании равны: ∠OCB = ∠OBC = 34°.

Сумма углов в треугольнике ОВС равна 180°:

• ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB)
• ∠BOC = 180° - (34° + 34°)
• ∠BOC = 180° - 68°
• ∠BOC = 112°

Теперь рассмотрим четырехугольник АВОС. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.

• ∠BAC + ∠ABO + ∠BOC + ∠ACO = 360°
• ∠BAC + 90° + 112° + 90° = 360°
• ∠BAC + 292° = 360°
• ∠BAC = 360° - 292°
• ∠BAC = 68°

Альтернативный способ:

Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Значит, ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°.

В равнобедренном треугольнике OBC (OB=OC как радиусы) углы при основании равны, т.е. ∠OCB = ∠OBC = 34°.

Угол BAC является углом между двумя касательными. Центральный угол ∠BOC = 180° - (34° + 34°) = 112°.

Угол ∠BAC в два раза меньше центрального угла ∠BOC, если бы он был вписанным, но это не так.

Угол ∠BAC равен разнице между 180° и центральным углом ∠BOC, если рассматривать его как угол между касательными:

• ∠BAC = 180° - ∠BOC
• ∠BAC = 180° - 112°
• ∠BAC = 68°

Или, используя тот факт, что ∠BAC = 2 * (90° - ∠OBC):

• ∠BAC = 2 * (90° - 34°)
• ∠BAC = 2 * 56°
• ∠BAC = 112° — это неверно.

Правильное рассуждение: Угол между касательными АВ и АС равен разности между 180° и центральным углом ∠BOC. Угол ∠BOC = 180° - 2 * 34° = 112°. Тогда ∠BAC = 180° - 112° = 68°.

Еще раз проверим:

В четырехугольнике АВОС сумма углов равна 360°.

∠BAC + ∠ABO + ∠BOC + ∠ACO = 360°

∠BAC + 90° + (180° - 2*34°) + 90° = 360°

∠BAC + 90° + 112° + 90° = 360°

∠BAC + 292° = 360°

∠BAC = 68°