2. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 78°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник АОВС. Так как АС и ВС — касательные, то радиусы ОА и ОВ перпендикулярны касательным в точках касания. Следовательно, углы ОАС и ОВС равны 90°.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Угол АОВ равен 180° - 78° = 102°, так как треугольники АСО и ВСО равны (по гипотенузе и катету, или по двум катетам).

В треугольнике АОВ углы ОАВ и ОВА равны, так как ОА = ОВ (радиусы). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

• \[ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \]
• \[ 102^{\circ} + 2 \angle OBA = 180^{\circ} \]
• \[ 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 102^{\circ} \]
• \[ 2 \angle OBA = 78^{\circ} \]
• \[ \angle OBA = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ} \]

Ответ: 39