2) Чем равно НОД двух чисел, если известно, что НОК этих чисел равно их произведению? Обоснуйте ответ. 3) Делится ли НОК нескольких чисел на их НОД? 4) Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их произведению? Обоснуйте ответ. 5) Может ли наибольший общий делитель двух различных чисел равняться их наименьшему общему кратному? 6) Известно, что наибольший общий делитель чисел a и b равен 1. Чему равно их наименьшее общее кратное? 7) Наименьшее общее кратное чисел a и b равно ab. Чему равен их наибольший общий делитель? 8) Может ли наименьшее общее кратное двух чётных чисел равняться их произведению? 9) Верно ли, что произведение двух натуральных чисел является их наименьшим общим кратным? 10) Чему равно наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b, если их наибольший общий делитель равен a?

По формуле \(\НОД(a,b)\cdot\НОК(a,b)=ab\). Если \(\НОК(a,b)=ab\), то \(\НОД(a,b)=1\).

Да. Пусть \(d=\НОД(a_1,\ldots,a_n)\), а \(L=\НОК(a_1,\ldots,a_n)\). Так как \(d\) делит каждое число, то \(d\) является общим делителем, а \(L/d\) — целым числом; для каждого числа \(a_i=dq_i\), поэтому \(L=d\cdot\НОК(q_1,\ldots,q_n)\), и НОД делит НОК.

Да, если числа взаимно просты: \(\НОД(a,b)=1\), тогда \(\НОК(a,b)=ab\).

Нет. Для различных чисел НОД не может равняться НОК: НОД не больше меньшего числа, а НОК не меньше большего. Равенство возможно только при равных числах.

Если \(\НОД(a,b)=1\), то \(\НОК(a,b)=ab\).

Если \(\НОК(a,b)=ab\), то по формуле \(\НОД(a,b)=1\).

Да. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа взаимно просты. Для чётных чисел НОД не меньше 2, поэтому такой случай невозможен.

Нет, не всегда. Произведение равно НОК только у взаимно простых чисел. Например, \(2\cdot4=8\), но \(\НОК(2,4)=4\).

Если \(\НОД(a,b)=a\), то \(a\) делит \(b\), поэтому \(\НОК(a,b)=b\).