2. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 55% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 80% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 75% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Обозначим:

• $$H_1$$ — событие, что яйцо из первого хозяйства.
• $$H_2$$ — событие, что яйцо из второго хозяйства.
• $$V$$ — событие, что яйцо высшей категории.

Нам дано:

• $$P(V|H_1) = 0.55$$ (вероятность высшей категории, если яйцо из первого хозяйства)
• $$P(V|H_2) = 0.80$$ (вероятность высшей категории, если яйцо из второго хозяйства)
• $$P(V) = 0.75$$ (общая вероятность высшей категории)

Мы хотим найти $$P(H_1|V)$$ (вероятность, что яйцо из первого хозяйства, если оно высшей категории).

По формуле Байеса:

\[ P(H_1|V) = \frac{P(V|H_1) P(H_1)}{P(V)} \]

Нам нужно найти $$P(H_1)$$ и $$P(H_2)$$. Мы знаем, что $$P(V) = P(V|H_1) P(H_1) + P(V|H_2) P(H_2)$$.

Пусть $$P(H_1) = x$$. Тогда $$P(H_2) = 1 - x$$.

Подставим известные значения в формулу для $$P(V)$$:

\[ 0.75 = 0.55x + 0.80(1 - x) \]

\[ 0.75 = 0.55x + 0.80 - 0.80x \]

\[ 0.75 - 0.80 = 0.55x - 0.80x \]

\[ -0.05 = -0.25x \]

\[ x = \frac{-0.05}{-0.25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.2 \]

Таким образом, $$P(H_1) = 0.2$$.

Теперь мы можем найти $$P(H_1|V)$$:

\[ P(H_1|V) = \frac{P(V|H_1) P(H_1)}{P(V)} = \frac{0.55 \times 0.2}{0.75} \]

\[ P(H_1|V) = \frac{0.11}{0.75} = \frac{11}{75} \]

Ответ: 11/75