2.3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Краткое пояснение:

Сопоставим каждый график с соответствующей формулой, анализируя ключевые характеристики каждой функции: тип кривой, направление, точки пересечения с осями, наличие асимптот.

Графики:

График А: Функция возрастает, проходит через начало координат (0,0). Похоже на \( \sqrt{x} \) или \( x^3 \) для \( x > 0 \).

График Б: Парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0, -2), пересекает ось X. Это квадратичная функция.

График В: Прямая линия с отрицательным наклоном, проходит через ось Y в точке (0, 1).

Формулы:

• 1) \( y = -\frac{1}{2}x \)
• 2) \( y = -x^2 - 2 \)
• 3) \( y = \sqrt{x} \)

Сопоставление:

• График А: Функция возрастает и проходит через (0,0). Это характерно для \( y = \sqrt{x} \). Проверим: при \( x=1 \), \( y=1 \); при \( x=4 \), \( y=2 \). Это соответствует Формуле 3.
• График Б: Парабола с ветвями вниз и вершиной в (0, -2). Формула \( y = -x^2 - 2 \) описывает именно такую параболу. Коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (-1), что означает направление ветвей вниз. Свободный член -2 сдвигает вершину вниз по оси Y. Это соответствует Формуле 2.
• График В: Прямая линия с отрицательным наклоном. Формула \( y = -\frac{1}{2}x \) описывает прямую с отрицательным наклоном \( -\frac{1}{2} \). При \( x=0 \), \( y=0 \), что не совпадает с графиком, который пересекает ось Y в точке (0,1). Посмотрим на графики внимательнее. График В действительно проходит через (0,1) и имеет отрицательный наклон. Ни одна из предложенных формул не подходит идеально. Однако, если предположить, что на графике В показана функция \( y = -x + 1 \) (пересечение с Y в 1, наклон -1), то ни одна из формул не подходит. Давайте пересмотрим формулы и графики.
• Пересматриваем График В: Наклон отрицательный, проходит через (0, 1).
• Пересматриваем Формулы: \( y = -\frac{1}{2}x \) - прямая, проходит через (0,0), наклон отрицательный. \( y = -x^2 - 2 \) - парабола. \( y = \sqrt{x} \) - корень, возрастает, через (0,0).
• Возможно, есть ошибка в задании или на графике. Если График В должен соответствовать одной из формул, то наиболее близкой по форме (прямая) является \( y = -\frac{1}{2}x \), но она не проходит через (0,1). Если мы предположим, что на Графике В ось Y имеет метку 1, и прямая проходит через (0,1), то ни одна из формул не подходит.
• Давайте предположим, что на графике В ось Y имеет метку 1, и прямая проходит через (0,1) и, например, через (2,0). Тогда наклон равен \( \frac{0-1}{2-0} = -\frac{1}{2} \). В этом случае формула была бы \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \).
• Предположим, что на графике В показана прямая, проходящая через (0,0) с отрицательным наклоном. Тогда она бы соответствовала \( y = -\frac{1}{2}x \). Но на графике явно указано пересечение с осью Y в точке 1.
• Давайте вернемся к сопоставлению А и Б, которые кажутся более однозначными.
• А) \( y = \sqrt{x} \) — возрастающая функция, проходит через (0,0), далее в первой четверти. Соответствует Графику А.
• Б) \( y = -x^2 - 2 \) — парабола, ветви вниз, вершина (0, -2). Соответствует Графику Б.
• В) \( y = -\frac{1}{2}x \) — прямая, проходит через (0,0) с отрицательным наклоном. Это не соответствует Графику В, который проходит через (0,1).
• Если мы вынуждены выбрать, и на графике В ось Y действительно имеет отметку 1, и прямая проходит через эту отметку, а также имеет отрицательный наклон, то, возможно, формулой должна быть \( y = -x + 1 \) или \( y = -0.5x + 1 \).
• Давайте пересмотрим формулу 1: \( y = -\frac{1}{2}x \). Это прямая, проходящая через начало координат \((0,0)\) с отрицательным наклоном. График А является графиком функции \( y = \sqrt{x} \), которая также проходит через начало координат, но является кривой. График В — это прямая, проходящая через \((0,1)\) с отрицательным наклоном.
• Есть несоответствие между графиками и формулами. Если предположить, что график А — это \( y = \sqrt{x} \), график Б — \( y = -x^2 - 2 \), то график В должен соответствовать \( y = -\frac{1}{2}x \). Но график В не проходит через \((0,0)\), а через \((0,1)\).
• Предположим, что на графике В ось Y имеет отметку 1, и прямая проходит через \((0,1)\). Тогда формула \( y = -\frac{1}{2}x \) не подходит.
• Однако, если мы игнорируем метку 1 на оси Y графика В и считаем, что это прямая, проходящая через начало координат с отрицательным наклоном, то она бы соответствовала \( y = -\frac{1}{2}x \).
• Давайте исходить из того, что задачи обычно корректны.
• График А: Возрастающая кривая, проходит через (0,0). Это \( y = \sqrt{x} \) (формула 3).
• График Б: Парабола, ветви вниз, вершина (0, -2). Это \( y = -x^2 - 2 \) (формула 2).
• График В: Прямая с отрицательным наклоном. Единственная оставшаяся формула — \( y = -\frac{1}{2}x \). Эта формула описывает прямую, проходящую через \((0,0)\). Однако, на графике явно указано, что прямая пересекает ось Y в точке 1. Это явное несоответствие.
• Если мы предположим, что график В на самом деле должен соответствовать формуле 1, то либо метка на оси Y неправильная (должна быть 0), либо сама формула должна быть \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \).
• Принимая во внимание, что это задача на соответствие, и если А соответствует 3, а Б соответствует 2, то В должно соответствовать 1. Это означает, что мы должны предположить, что график В соответствует формуле \( y = -\frac{1}{2}x \), несмотря на видимое пересечение с осью Y в точке 1. Или же, что на графике В, линия пересекает ось Y в точке 1, и это соответствует формуле \( y = -\frac{1}{2}x \), что невозможно.
• Давайте считать, что на графике В ось Y имеет метку 1, и прямая проходит через эту точку, а также имеет отрицательный наклон. Единственная формула, которая описывает прямую с отрицательным наклоном, это \( y = -\frac{1}{2}x \). При \(x=0\) эта функция равна 0.
• Возможно, в задании ошибка. Но если мы вынуждены выбрать, и График А = 3, График Б = 2, то График В = 1. Примем это как данность.

Результат:

А — 3, Б — 2, В — 1