2.23. Используйте свойства степени и вычислите: a) 90^{-4} : 45^{-4}; б) \(\frac{15^{-2}}{5^{-2}}\); в) 8.5^{-5} : 85^{-5}; г) 85^{-3}; д) 2^{-4} \(\cdot\) 5^{-4}; e) 2.5^{-9} \(\cdot\) 0.4^{-9}.

Решение:

Используем свойства степени: \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \), \( a^n : b^n = (\frac{a}{b})^n \), \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

1. а) \( 90^{-4} : 45^{-4} = (\frac{90}{45})^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \)
2. б) \( \frac{15^{-2}}{5^{-2}} = (\frac{15}{5})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
3. в) \( 8.5^{-5} : 85^{-5} = (\frac{8.5}{85})^{-5} = (\frac{85}{850})^{-5} = (\frac{1}{10})^{-5} = 10^5 = 100000 \)
4. г) \( 85^{-3} = \frac{1}{85^3} = \frac{1}{614125} \)
5. д) \( 2^{-4} \cdot 5^{-4} = (2 \cdot 5)^{-4} = 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} \)
6. е) \( 2.5^{-9} \cdot 0.4^{-9} = (2.5 \cdot 0.4)^{-9} = (1)^{-9} = 1 \)

Ответ: а) \(\frac{1}{16}\); б) \(\frac{1}{9}\); в) 100000; г) \(\frac{1}{614125}\); д) \(\frac{1}{10000}\); е) 1.