2.22. Найдите значение выражения: a) 5^{-8} \(\cdot\) 5^6; б) 1.9^{11} \(\cdot\) 10^{-10}; в) 625 \(\cdot\) 5^{-6}; г) 10^{-8} : 10000; д) 2^{-5} : 32; e) 7^{-5} : 7^{-7}; ж) 2^5 : 2^2; 3) 15 : 15^{-1}; и) 8 : 2^4; к) \(\frac{3^{-2}}{9}\); л) (10^{-3})^2; м) (2^5)^{-1}; H) (5^{-2})^2; o) (2^{-4})^2; p) \(\frac{1}\){\(\frac{1}{7}\)^{-2}}; p) \(\frac{1}\){\(\frac{1}{3}\)^{-2}}.

Решение:

Используем свойства степени: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( a^0 = 1 \), \( \frac{1}{a} = a^{-1} \), \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \).

1. а) \( 5^{-8} \cdot 5^6 = 5^{-8+6} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)
2. б) \( 1.9^{11} \cdot 10^{-10} \) - данное выражение не упрощается до числового значения без калькулятора.
3. в) \( 625 \cdot 5^{-6} = 5^4 \cdot 5^{-6} = 5^{4-6} = 5^{-2} = \frac{1}{25} \)
4. г) \( 10^{-8} : 10000 = 10^{-8} : 10^4 = 10^{-8-4} = 10^{-12} \)
5. д) \( 2^{-5} : 32 = 2^{-5} : 2^5 = 2^{-5-5} = 2^{-10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \)
6. е) \( 7^{-5} : 7^{-7} = 7^{-5 - (-7)} = 7^{-5+7} = 7^2 = 49 \)
7. ж) \( 2^5 : 2^2 = 2^{5-2} = 2^3 = 8 \)
8. з) \( 15 : 15^{-1} = 15^1 : 15^{-1} = 15^{1 - (-1)} = 15^{1+1} = 15^2 = 225 \)
9. и) \( 8 : 2^4 = 2^3 : 2^4 = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
10. к) \( \frac{3^{-2}}{9} = \frac{\frac{1}{3^2}}{3^2} = \frac{1}{3^2 \cdot 3^2} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \)
11. л) \( (10^{-3})^2 = 10^{-3 \cdot 2} = 10^{-6} = \frac{1}{1000000} \)
12. м) \( (2^5)^{-1} = 2^{5 \cdot (-1)} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \)
13. н) \( (5^{-2})^2 = 5^{-2 \cdot 2} = 5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625} \)
14. о) \( (2^{-4})^2 = 2^{-4 \cdot 2} = 2^{-8} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} \)
15. п) \( \frac{1}{(\frac{1}{7})^{-2}} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \)
16. п) \( \frac{1}{(\frac{1}{3})^{-2}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)

Ответ: а) \(\frac{1}{25}\); б) Не упрощается до числового значения; в) \(\frac{1}{25}\); г) \(10^{-12}\); д) \(\frac{1}{1024}\); е) 49; ж) 8; з) 225; и) \(\frac{1}{2}\); к) \(\frac{1}{81}\); л) \(10^{-6}\); м) \(\frac{1}{32}\); н) \(\frac{1}{625}\); о) \(\frac{1}{256}\); п) \(\frac{1}{49}\); п) \(\frac{1}{9}\).