19. Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц. После этого получившееся число стало также делиться на 45. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим трёхзначное число как \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.

По условию, число меньше 500, значит \( a ∈ \{1, 2, 3, 4} \).

Число делится на 45, значит, оно делится на 5 и на 9.

• Делимость на 5: Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Следовательно, \( c ∈ \{0, 5} \).
• Делимость на 9: Сумма цифр числа делится на 9. \( a + b + c \) делится на 9.

После перестановки цифр десятков и единиц получилось число \( 100a + 10c + b \).

Это число также делится на 45, следовательно, оно делится на 5 и на 9.

• Делимость на 5 (для нового числа): Число \( 100a + 10c + b \) делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Следовательно, \( b ∈ \{0, 5} \).
• Делимость на 9 (для нового числа): Сумма цифр числа \( a + c + b \) делится на 9. Это условие совпадает с делимостью на 9 для исходного числа.

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: \( c = 0 \)

Тогда \( b \) должно быть \( 0 \) или \( 5 \).

• Если \( b = 0 \), то \( c = 0 \). Число имеет вид \( 100a \). Сумма цифр \( a + 0 + 0 = a \). Чтобы \( a \) делилось на 9, \( a \) должно быть 9. Но \( a < 5 \). Этот случай невозможен.
• Если \( b = 5 \), то \( c = 0 \). Число имеет вид \( 100a + 50 + 0 \). Сумма цифр \( a + 5 + 0 = a + 5 \). Для делимости на 9, \( a + 5 \) должно быть равно 9 или 18.
• Если \( a + 5 = 9 \), то \( a = 4 \). Число 450. Проверяем: 450 < 500, делится на 45 (450 / 45 = 10). Переставим цифры: 405. 405 < 500, делится на 45 (405 / 45 = 9). Этот случай подходит.
• Если \( a + 5 = 18 \), то \( a = 13 \), что невозможно, так как \( a \) — цифра.

Случай 2: \( c = 5 \)

Тогда \( b \) должно быть \( 0 \) или \( 5 \).

• Если \( b = 0 \), то \( c = 5 \). Число имеет вид \( 100a + 10(0) + 5 \). Сумма цифр \( a + 0 + 5 = a + 5 \). Для делимости на 9, \( a + 5 \) должно быть равно 9 или 18.
• Если \( a + 5 = 9 \), то \( a = 4 \). Число 405. Проверяем: 405 < 500, делится на 45 (405 / 45 = 9). Переставим цифры: 450. 450 < 500, делится на 45 (450 / 45 = 10). Этот случай подходит.
• Если \( a + 5 = 18 \), то \( a = 13 \), что невозможно.
• Если \( b = 5 \), то \( c = 5 \). Число имеет вид \( 100a + 10(5) + 5 \). Сумма цифр \( a + 5 + 5 = a + 10 \). Для делимости на 9, \( a + 10 \) должно быть равно 18.
• Если \( a + 10 = 18 \), то \( a = 8 \). Но \( a < 5 \). Этот случай невозможен.

Мы нашли два возможных числа: 450 и 405. В условии сказано «Задумали трёхзначное число», что подразумевает одно конкретное число. Проанализируем условие «Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц. После этого получившееся число стало также делиться на 45».

Если было задумано 450, то после перестановки получаем 405. Оба числа делятся на 45.

Если было задумано 405, то после перестановки получаем 450. Оба числа делятся на 45.

Так как число должно быть меньше 500, оба варианта подходят. Однако, условие «затем поменяли» может подразумевать, что исходное число не должно быть палиндромом. В данном случае, 450 и 405 — это разные числа. Если бы число было, например, 445, то после перестановки получилось бы 454, которое не делится на 5. Если бы число было 455, то после перестановки получилось бы 455, что является палиндромом, но это число не делится на 9 (4+5+5=14). Если бы число было 400, оно делится на 45. Перестановка 0 и 0 дает 400. Но 400 не делится на 9.

Считаем, что оба варианта (405 и 450) удовлетворяют условиям. Однако, в типичных задачах такого рода подразумевается, что перестановка цифр приводит к другому числу. Оба числа 405 и 450 делятся на 45, меньше 500, и перестановка десятков и единиц дает число, которое также делится на 45.

Если принять, что изначально было задумано число, у которого после перестановки цифр десятков и единиц получилось ДРУГОЕ число, делящееся на 45, то оба варианта подходят.

Однако, если посмотреть на формулировку «затем поменяли местами цифры [...] После этого получившееся число стало также делиться на 45», это может указывать на то, что исходное число было первым, и оно делится на 45, а полученное после перестановки — второе, которое тоже делится на 45.

В задачах такого типа, если нет явного указания, что число должно быть уникальным, или если варианты получаются симметричными (как 405 и 450), то часто одно из них принимается за ответ.

Давайте предположим, что число было задумано одно, и при перестановке цифр получилось другое число, которое тоже делится на 45. Оба числа 405 и 450 подходят. Но если нам нужно выбрать одно, обычно выбирают наименьшее или наибольшее, если нет других указаний.

Если задумано 405 (делится на 45), то перестановка дает 450 (делится на 45).

Если задумано 450 (делится на 45), то перестановка дает 405 (делится на 45).

В условиях нет указания, что числа должны быть разными. Оба варианта подходят. Если нужно выбрать одно, можно рассмотреть, какое из них было "задумано" первым. Обычно при такой формулировке, ответ подразумевается один.

Оба числа (405 и 450) удовлетворяют всем условиям. Однако, чтобы дать один ответ, можно выбрать наименьшее из них, которое было бы задумано изначально, то есть 405.

Ответ: 405