19. Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и вторая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Найдите сумму двух наибольших чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

1. Обозначение числа: Пусть задуманное трехзначное число — \(abc\), где \(a\), \(b\), \(c\) — различные цифры, \(b\) — четная цифра, \(a \neq 0\), \(c \neq 0\). Число, записанное в обратном порядке, — \(cba\).
2. Уравнение: \(100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 693\).
3. Упрощение: \(100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693\) \(99a - 99c = 693\) \(99(a - c) = 693\) \(a - c = 7\).
4. Поиск пар (a, c): Так как \(a\) и \(c\) — различные цифры от 0 до 9, и \(a \neq 0\), \(c \neq 0\) (иначе число не будет трехзначным при обратной записи), возможны следующие пары: \((7, 0)\) — не подходит, так как \(c \neq 0\); \((8, 1)\); \((9, 2)\).
5. Рассмотрение четной цифры 'b':
• Пара (8, 1): \(a=8, c=1\). Четная цифра \(b\) может быть любой из оставшихся различных цифр: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Так как \(b\) должна быть четной, возможные значения \(b\): 0, 2, 4, 6.
• Пара (9, 2): \(a=9, c=2\). Четная цифра \(b\) может быть любой из оставшихся различных цифр: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Так как \(b\) должна быть четной, возможные значения \(b\): 0, 4, 6, 8.
6. Формирование наибольших чисел:
• Из пары \((8, 1)\) с четным \(b\): наибольшие числа будут с наибольшим \(b\). Например, 871, 861, 851, 841, 831, 821, 801. Наибольшее число — 871 (где b=7, но b должно быть четным, поэтому наибольшее число будет 861, т.к. 7 нечетное). Следующее наибольшее число с четным 'b' будет 841.
• Из пары \((9, 2)\) с четным \(b\): наибольшие числа будут с наибольшим \(b\). Например, 982, 972, 962, 942, 912, 902. Наибольшее число — 982. Следующее наибольшее число — 962.
7. Два наибольших числа, удовлетворяющих условиям: Нам нужно найти два наибольших числа. Сравнивая возможные числа: 982, 962, 861 (не подходит, b=6, но a=8, c=1, 8-1=7, b=6 четное, 982, 962, 861, 841, 821, 801. Числа: 982, 962, 861, 841, 821, 801. Условия: а, b, c различны. b четное. a-c = 7.
• Для \(a=9, c=2\): \(b\) может быть 0, 4, 6, 8. Числа: 902, 942, 962, 982. Наибольшие: 982, 962.
• Для \(a=8, c=1\): \(b\) может быть 0, 2, 4, 6. Числа: 801, 821, 841, 861. Наибольшие: 861, 841.
8. Два наибольших числа из всех возможных: 982 и 962.
9. Сумма двух наибольших чисел: 982 + 962 = 1944.

Ответ: 1944