19. В автобусах пассажирам выдают билеты с четырехзначным номером, начиная с 1000. На номере 3000 заканчивается рулетка с билетами, кондуктор открывает новую, где нумерация вновь идет сначала. Матрена собирает «счастливые» билеты. «Счастливыми» она называет те, число из первых двух цифр которых кратно 10, число из последних двух цифр которых кратно 4, а весь номер кратен 3. Сколько всего «счастливых» билетов может собрать Матрена из одной рулетки?

Question

Вопрос:

Фото задания: 19. В автобусах пассажирам выдают билеты с четырехзначным номером, начиная с 1000. На номере 3000 заканчивается рулетка с…

19. В автобусах пассажирам выдают билеты с четырехзначным номером, начиная с 1000. На номере 3000 заканчивается рулетка с билетами, кондуктор открывает новую, где нумерация вновь идет сначала. Матрена собирает «счастливые» билеты. «Счастливыми» она называет те, число из первых двух цифр которых кратно 10, число из последних двух цифр которых кратно 4, а весь номер кратен 3. Сколько всего «счастливых» билетов может собрать Матрена из одной рулетки?

Accepted Answer

Краткое пояснение: Необходимо найти все четырехзначные номера, удовлетворяющие условиям: первые две цифры кратны 10, последние две — кратны 4, и весь номер кратен 3. Учитываем, что рулетка начинается с 1000 и заканчивается 3000.

Анализ условий:

Номер билета: AB CD, где A, B, C, D — цифры.
Диапазон номеров: от 1000 до 3000.
Первые две цифры (AB): кратны 10. Это значит, что AB может быть 10, 20.
Последние две цифры (CD): кратны 4. Это значит, что CD может быть 00, 04, 08, ..., 96.
Весь номер (ABCD): кратен 3. Сумма цифр A+B+C+D должна делиться на 3.

Поиск «счастливых» билетов:

Случай 1: Первые две цифры — 10 (AB = 10).

Номер имеет вид 10CD. Сумма первых двух цифр = 1 + 0 = 1.
Чтобы номер был кратен 3, сумма всех цифр (1 + C + D) должна делиться на 3.
CD должно быть кратно 4. Возможные значения CD: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.
Проверяем сумму цифр (1 + C + D) на делимость на 3:

CD=00: 1+0+0=1 (не делится)
CD=04: 1+0+4=5 (не делится)
CD=08: 1+0+8=9 (делится!) — 1008
CD=12: 1+1+2=4 (не делится)
CD=16: 1+1+6=8 (не делится)
CD=20: 1+2+0=3 (делится!) — 1020
CD=24: 1+2+4=7 (не делится)
CD=28: 1+2+8=11 (не делится)
CD=32: 1+3+2=6 (делится!) — 1032
CD=36: 1+3+6=10 (не делится)
CD=40: 1+4+0=5 (не делится)
CD=44: 1+4+4=9 (делится!) — 1044
CD=48: 1+4+8=13 (не делится)
CD=52: 1+5+2=8 (не делится)
CD=56: 1+5+6=12 (делится!) — 1056
CD=60: 1+6+0=7 (не делится)
CD=64: 1+6+4=11 (не делится)
CD=68: 1+6+8=15 (делится!) — 1068
CD=72: 1+7+2=10 (не делится)
CD=76: 1+7+6=14 (не делится)
CD=80: 1+8+0=9 (делится!) — 1080
CD=84: 1+8+4=13 (не делится)
CD=88: 1+8+8=17 (не делится)
CD=92: 1+9+2=12 (делится!) — 1092
CD=96: 1+9+6=16 (не делится)
Итого для AB=10: 8 билетов.

Случай 2: Первые две цифры — 20 (AB = 20).

Номер имеет вид 20CD. Сумма первых двух цифр = 2 + 0 = 2.
Чтобы номер был кратен 3, сумма всех цифр (2 + C + D) должна делиться на 3.
CD также кратно 4.
Проверяем сумму цифр (2 + C + D) на делимость на 3:

CD=00: 2+0+0=2 (не делится)
CD=04: 2+0+4=6 (делится!) — 2004
CD=08: 2+0+8=10 (не делится)
CD=12: 2+1+2=5 (не делится)
CD=16: 2+1+6=9 (делится!) — 2016
CD=20: 2+2+0=4 (не делится)
CD=24: 2+2+4=8 (не делится)
CD=28: 2+2+8=12 (делится!) — 2028
CD=32: 2+3+2=7 (не делится)
CD=36: 2+3+6=11 (не делится)
CD=40: 2+4+0=6 (делится!) — 2040
CD=44: 2+4+4=10 (не делится)
CD=48: 2+4+8=14 (не делится)
CD=52: 2+5+2=9 (делится!) — 2052
CD=56: 2+5+6=13 (не делится)
CD=60: 2+6+0=8 (не делится)
CD=64: 2+6+4=12 (делится!) — 2064
CD=68: 2+6+8=16 (не делится)
CD=72: 2+7+2=11 (не делится)
CD=76: 2+7+6=15 (делится!) — 2076
CD=80: 2+8+0=10 (не делится)
CD=84: 2+8+4=14 (не делится)
CD=88: 2+8+8=18 (делится!) — 2088
CD=92: 2+9+2=13 (не делится)
CD=96: 2+9+6=17 (не делится)
Итого для AB=20: 8 билетов.

Общее количество «счастливых» билетов: 8 (из первого случая) + 8 (из второго случая) = 16.

Ответ: 16