18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Решение:

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° можно определить, рассматривая частные случаи прямоугольных треугольников.

1. Для угла 45°:

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны 45°. Пусть катеты равны 1. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза \( c \) равна:

\( c^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \) \( \implies c = \sqrt{2} \)

Тогда:

\( \sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \operatorname{tg}(45^{\circ}) = \frac{1}{1} = 1 \)

2. Для углов 30° и 60°:

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Проведем высоту, которая разделит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников углы будут 90°, 60° и 30°. Гипотенуза равна 2, прилежащий к углу 60° катет (половина основания равностороннего треугольника) равен 1. Высота (противолежащий катет к углу 60°) найдется по теореме Пифагора:

\( h^2 + 1^2 = 2^2 \) \( \implies h^2 = 4 - 1 = 3 \) \( \implies h = \sqrt{3} \)

Теперь найдем значения для угла 60°:

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (противолежащий катет / гипотенуза)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \) (прилежащий катет / гипотенуза)

\( \operatorname{tg}(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \) (противолежащий катет / прилежащий катет)

И для угла 30°:

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \) (противолежащий катет / гипотенуза)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (прилежащий катет / гипотенуза)

\( \operatorname{tg}(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) (противолежащий катет / прилежащий катет)

Сводная таблица:

Ответ: Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° приведены в таблице и выведены из свойств равнобедренного и равностороннего треугольников.