16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы равны и тангенсы этих углов равны.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \triangle A'B'C' \) с прямым углом \( \angle C' = 90^{\circ} \). Пусть острый угол \( \angle A = \angle A' = \alpha \).

По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

Для \( \triangle ABC \):

\( \sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} \)

\( \cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} \)

\( \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{BC}{AC} \)

Для \( \triangle A'B'C' \):

\( \sin(\alpha) = \frac{B'C'}{A'B'} \)

\( \cos(\alpha) = \frac{A'C'}{A'B'} \)

\( \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{B'C'}{A'C'} \)

По условию, \( \angle A = \angle A' \). Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то они подобны (по первому признаку подобия, так как у них есть пара равных острых углов).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно некоторому коэффициенту подобия k:

\( \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = k \)

Из этого следует:

\( BC = k \cdot B'C' \)

\( AC = k \cdot A'C' \)

\( AB = k \cdot A'B' \)

Теперь подставим эти соотношения в формулы для тригонометрических функций:

\( \sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{k \cdot B'C'}{k \cdot A'B'} = \frac{B'C'}{A'B'} \) (что равно синусу угла \( \alpha \) в \( \triangle A'B'C' \))

\( \cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{k \cdot A'C'}{k \cdot A'B'} = \frac{A'C'}{A'B'} \) (что равно косинусу угла \( \alpha \) в \( \triangle A'B'C' \))

\( \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{k \cdot B'C'}{k \cdot A'C'} = \frac{B'C'}{A'C'} \) (что равно тангенсу угла \( \alpha \) в \( \triangle A'B'C' \))

Таким образом, если острые углы двух прямоугольных треугольников равны, то их синусы, косинусы и тангенсы также равны.

Ответ: Доказано, что равенство острых углов в прямоугольных треугольниках влечет равенство их синусов, косинусов и тангенсов, так как такие треугольники подобны.