18) \(a^{5n} \cdot a^2\) : a^{10} / a^3 = a^4

Решение:

Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим выражение в скобках: \( a^{5n} \cdot a^2 = a^{5n+2} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{5n+2}}{a^{10}} \).
3. Применим правило деления степеней: \( a^{5n+2} : a^{10} = a^{(5n+2)-10} = a^{5n-8} \).
4. Далее выражение делится на \( a^3 \): \( \frac{a^{5n-8}}{a^3} \).
5. Применим правило деления степеней: \( a^{5n-8} : a^3 = a^{(5n-8)-3} = a^{5n-11} \).
6. По условию, \( a^{5n-11} = a^4 \).
7. Приравниваем показатели степеней: \( 5n - 11 = 4 \).
8. Решаем уравнение относительно \( n \): \( 5n = 4 + 11 \) \( 5n = 15 \) \( n = \frac{15}{5} \) \( n = 3 \).

Ответ: n = 3.