17. Упростите числовое выражение $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$$

Решение:

Упростим выражение $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$$.

Рассмотрим выражение под каждым корнем как квадрат суммы или разности:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Для первого корня $$\sqrt{27+10\sqrt{2}}$$:

Нам нужно представить $$27+10\sqrt{2}$$ в виде $$(a+b)^2$$.

Сравним $$10\sqrt{2}$$ с $$2ab$$. Положим $$2ab = 10\sqrt{2}$$.

Если $$a=5$$, то $$2 ∙ 5 ∙ b = 10b$$. Тогда $$10b = 10\sqrt{2}$$, откуда $$b=\sqrt{2}$$.

Проверим $$a^2+b^2$$: $$5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$$.

Значит, $$27+10\sqrt{2} = (5+\sqrt{2})^2$$.

Тогда $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} = \sqrt{(5+\sqrt{2})^2} = 5+\sqrt{2}$$ (так как $$5+\sqrt{2} > 0$$).

Для второго корня $$\sqrt{27-10\sqrt{2}}$$:

Аналогично, $$27-10\sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2$$.

Тогда $$\sqrt{27-10\sqrt{2}} = \sqrt{(5-\sqrt{2})^2} = 5-\sqrt{2}$$ (так как $$5-\sqrt{2} > 0$$, так как $$5 = \sqrt{25}$$ и $$\sqrt{25} > \sqrt{2}$$).

Теперь сложим полученные выражения:

$$(5+\sqrt{2}) + (5-\sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 5 + 5 = 10$$.