11. Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по ребрам октаэдра, из одной его вершины в противоположную (см. рис.)?

Решение:

Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Кратчайший путь между двумя противоположными вершинами октаэдра будет состоять из 3 ребер. Каждое ребро соединяет две вершины. Из одной вершины можно пойти по трем ребрам. Выбрав одно ребро, мы попадаем в соседнюю вершину. Из этой вершины также есть три ребра, но одно из них ведет обратно к начальной вершине, поэтому остается два ребра, по которым можно продолжить путь. Таким образом, из каждой вершины есть 3 возможных пути.

Схема путей:

• Вершина А -> Вершина Б (1 ребро)
• Вершина Б -> Вершина В (2 ребро)
• Вершина В -> Вершина Г (3 ребро, противоположная вершина)

В октаэдре, как и в кубе, из одной вершины в противоположную можно попасть минимум за 3 шага (ребра).

Пути:

1. Из вершины 1 в вершину 6:

• 1 → 2 → 4 → 6
• 1 → 2 → 5 → 6
• 1 → 3 → 4 → 6
• 1 → 3 → 5 → 6

Всего 4 кратчайших пути.